1 . 在平面内，点三点共线的充要条件是：对于平面内任一点，有且只有一对实数，满足向量关系式，且.类比以上结论，可得到在空间中，四点共面的充要条件是：对于平面内任一点，有且只有一对实数满足向量关系式__________．

2 . 已知，是正整数，，当时，则有成立，当且仅当“”取等号，利用上述结论求，的最小值______．

3 . 将正整数排成如图所示，其中第行，第列的那个数记为，则数表中的应记为__________.

4 . 设，计算知，由此猜想，得到的正确结论是下列的__________．（写出你认为正确的结论序号）
①       ②        ③          ④

5 . 如图甲所示，在直角中，，是垂足，则有，该结论称为射影定理.如图乙所示，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比直角三角形中的射影定理，则有__________．

6 . 已知结论“a₁、a₂∈R^＋，且a₁＋a₂＝1，则＋≥4：若a₁、a₂、a₃∈R^＋，且a₁＋a₂＋a₃＝1，则＋＋≥9”，请猜想若a₁、a₂、…、a_n∈R^＋，且a₁＋a₂＋…＋a_n＝1，则＋＋…＋≥________.

7 . 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
   ...
将三角形数记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测：是数列中的第________项．

8 . 从下列等式中归纳出一个一般性的结论．

；
；
________________________________ .

9 . 设，复数，当_________时，为纯虚数.

10 . 观察数表：

1	2	3	4	…第一行
2	3	4	5	…第二行
3	4	5	6	…第三行
4	5	6	7	…第四行
第一列	第二列	第三列	第四列

根据数表中所反映的规律，第行与第列的交叉点上的数应该是__________．