1 . 如图，圆内接四边形ABCD中，自AD的中点M,作
，
为垂足.证明:MN过线段EF的中点.
，为垂足.证明:MN过线段EF的中点.
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2 . 20个巫师孤岛聚会.在此期间，任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师.证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其余九个巫师的诅咒.
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3 . 如图，
、
、
分别是
的边
、
、
上的点，且
与交于点
、
与交于点
，
与交于点
.证明：
、
、
三线共点，当且仅当、、三点共线.
、、分别是的边、、上的点，且与交于点、与交于点，与交于点.证明：、、三线共点，当且仅当、、三点共线.
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2010高三·山西·竞赛
4 . 如图，
是正
的中心，
是其所在平面上的任意一点，以
为直径的圆分别与直线
交于点
．证明：
．
是正的中心，是其所在平面上的任意一点，以为直径的圆分别与直线交于点．证明：．
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2010高三·山西·竞赛
5 . 设
，约定
．证明：
.
，约定．证明：.
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2013高三·山西·竞赛
6 . 如图，已知过的三个顶点
各作其外接圆的切线，分别与相应顶点的对边所在直线交于点
证明：
三点共线.
的三个顶点各作其外接圆的切线，分别与相应顶点的对边所在直线交于点证明：三点共线.
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7 . 已知在正整数n的各位数字中，共含有
个1，
个2，⋯，
个n．证明：
并确定使等号成立的条件．
个1，个2，⋯，个n．证明：并确定使等号成立的条件．
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2018-12-07更新
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370次组卷
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3卷引用：2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛试题
8 . 如图，
、
、
为
的外接圆
上的点，满足
，P为上的任意一点.若直线
与BC、
与AC、
与AB分别交于点D、E、F，证明:D、E、F三点共线.
、、为的外接圆上的点，满足，P为上的任意一点.若直线与BC、与AC、与AB分别交于点D、E、F，证明:D、E、F三点共线.
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2014高三·山西·竞赛
9 . 数列
、
满足条件
，
，
.
证明：对每个正整数
，均有（1）
，
；（2）
.
、满足条件，，.证明：对每个正整数
，均有（1），；（2）.
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