1 . 小明用如图所示轨道探究滑块的运动规律。长的斜轨道倾角为，斜轨道底端平滑连接长的水平轨道，水平轨道左端与半径的光滑半圆形轨道底端B平滑连接。将质量的滑块（可不计大小）从斜轨道顶端释放，滑块与斜轨道及水平轨道间的动摩擦因数均为。已知。
（1）当时，无初速释放滑块，求滑块到达B点时对半圆轨道压的大小；
（2）当时，为保证滑块能到达半圆轨道顶点A，应至少以多大速度释放滑块？
（3）为保证滑块离开半圆轨道顶点A后恰好能垂直撞击斜轨道，求α的范围。

2 . 如图所示，从A点以某一水平速度v₀抛出一质量m=1 kg的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入∠BOC=37°的固定光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面上的长木板上，圆弧轨道C端的切线水平。已知长木板的质量M=4 kg，A、B两点距C点的高度分别为H=0.6 m、h=0.15 m，R=0.75 m，物块与长木板之间的动摩擦因数μ₁=0.7，长木板与地面间的动摩擦因数μ₂=0.2，g=10 m/s²求：（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）
（1）小物块的初速度v₀及在B点时的速度大小；
（2）小物块滑至C点时，对圆弧轨道的压力大小；
（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板。

3 . 图甲是某游乐场的一种“双环过山车”设施的一部分，其运行原理可以简化成图乙的“小球轨道”模型。段和两竖直圆轨道1、2均光滑，圆轨道1、2的半径分别为，，B、C为两圆轨道的最低点且略微错开可以使小球通过，段的动摩擦因数可调节，、、段平直轨道动摩擦因数均为，，，段与水平面的夹角，段平直轨道足够长。一个质量为的小球（视为质点），从右侧轨道的A点由静止开始沿斜面下滑，恰能通过第一个竖直圆轨道1（已知，重力加速度）试求：
（1）A点距水平轨道的高度h；
（2）要使小球恰好通过1轨道后，进入轨道2而不脱离第二个圆轨道，求段动摩擦因数可设计的范围；
（3）小球恰好通过2轨道后，沿轨道运动到E处时，在光滑“挡板”作用下转变为水平方向直线运动，求小球在段停止的位置到E点的距离。（不考虑D、E点的能量损失）

4 . 如图所示为一装置的截面图，其中AB段是半径为R=2L的四分之一圆轨道，CDO段为半径r=L的半圆形轨道，最高点O固定一个竖直挡板，小球碰后原速弹回，D为CDO轨道的中点，两轨道均光滑，如图连接且固定，现有一个质量为m的小球以某一速度v从A点进入轨道，并在竖直平面的轨道内运动．求：

（1）若要小球做完整的圆周运动，从A点进入轨道的速度v至少是多少？
（2）若小球从某一高度静止释放，且轨道承受最大压力为3mg，试分析小球应从轨道上离地面多高的位置释放．
（3）若轨道不光滑，小球以某一速度从A点进入轨道后，经挡板弹回时恰好返回A点，若将圆轨道AB换成直轨道（虚线所示），且与CDO圆弧光滑连接，直轨道的动摩擦因数和圆轨道相同，若小球以相同大小的速度从A点进入直轨道后，能再次返回A点吗，请简述原因．

6 . 如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点．开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动．垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，与的夹角为，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断．已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，g为重力加速度大小．
（1）求小球初速度的大小；
（2）求小球绕钉子做圆周运动的半径r与的关系式；
（3）在细线被拉断后，小球继续向前运动，试判断它能否通过A点．若能，请求出细线被拉断时的值；若不能，请通过计算说明理由．

7 . 图中给出一段“”形单行盘山公路的示意图，弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧，圆心分别为，弯道中心线半径分别为，弯道2比弯道1高，有一直道与两弯道圆弧相切．质量的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑．（sin37°=0.6，sin53°=0.8）

（1）求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度；
（2）汽车以 进入直道，以的恒定功率直线行驶了，进入弯道2，此时速度恰为通过弯道2中心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；
（3）汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道，设路宽，求此最短时间（A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点 ）．