【推荐1】已知椭圆上任意一点到两个焦点，的距离的和为4．经过点且不经过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线与直线交于点E，直线与直线交于点N．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：的面积为定值．

【推荐2】已知椭圆长轴长为4，A，B分别为左、右顶点，P为椭圆上不同于A，B的动点，且点在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线AP与直线（m为常数）交于点Q，
①当时，设直线OQ的斜率为，直线BP的斜率为．求证：为定值；
②过Q与PB垂直的直线l是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，短轴的一个端点为.
(1)若为直角，焦距为2，求椭圆C的标准方程；
(2)若为锐角，求椭圆C的离心率的取值范围．

【推荐1】已知动点P到点的距离与到直线的距离之比为.
(1)设动点的轨迹为曲线，求曲线的标准方程；
(2)曲线上有两点（不在坐标轴上，且直线与轴不垂直），试问当的面积最大时，直线与的斜率之积是否为定值？若直线与的斜率之积为定值，求出其值；若不为定值，请说明理由

【推荐2】在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的弦长为3，直线与圆相切，且与椭圆交于，两点，为椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）用，分别表示和的面积，求的最大值．

【推荐3】如图所示，已知椭圆：的离心率为，且过点，

（1）求椭圆的方程；
（2）设在椭圆上，且与轴平行，过作两条直线分别交椭圆于两点，，直线平分，且直线过点，求四边形的面积．

【推荐1】已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，短轴长等于2.
（1）求椭圆的方程；
（2）设、分别为椭圆的左、右顶点若点在直线：上运动，且不在坐标轴上，直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，如果恒成立，求的取值范围.

【推荐2】如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点为，且离心率等于，过点的直线与椭圆相交于不同两点，，点在线段上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，若直线与轴不重合，试求的取值范围．

【推荐3】已知椭圆：，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点.
（1）若为线段的中点，求直线的方程；
（2）记，求的取值范围.

【推荐1】椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．

【推荐2】已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若为坐标原点，为椭圆上的任一点，点满足，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程.

【推荐3】椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若，求直线的方程；
(3)设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．