【推荐1】已知等差数列中，，．

(1)求的值；
(2)若数列满足：，证明：数列是等差数列．

【推荐2】①函数对任意有，数列满足，令；②数列中，已知，对任意的都有，令.在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)数列是等差数列吗？请给予证明；
(2)设，，试比较与的大小.

【推荐3】设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．

【推荐1】数列各项均为正数，其前项和为，且满足.
（1）求证：数列{}为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设， 求数列的前项和．

【推荐2】已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

【推荐3】已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得恒成立（其中且），若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由．

【推荐1】为数列的前n项和，已知．
(1)证明：；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前50项和．

【推荐2】已知公差不为零的等差数列，等比数列，满足，，．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．

【推荐3】甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列的前n项和为，已知____________，
（1）判断的关系并给出证明.
（2）若，设，的前n项和为，证明.
甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.