【推荐1】一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．
(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义域；
(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．
（i）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积；
（ii）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．

【推荐2】斜三棱柱中，每条棱长都为，．
（1）求证：是矩形；
（2）求棱柱的侧面积与体积．

【推荐1】如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，且为棱中点，为棱中点.

（1）证明：平面；
（2）设四棱锥的体积为，直四棱柱的体积为，求的值.

【推荐2】如图，矩形所在平面与直角梯形所在的平面垂直，，.
   
(1)求证：平面；
(2)若，求证：平面平面．

【推荐3】如图，在四棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，，点为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由．