【推荐1】如图，在三棱柱中，平面，，，，，分别是，的中点.

（1）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；
（2）设是的中点，求四棱锥的体积.

【推荐2】已知棱长均为2的平行六面体，，顶点的投影为棱中点.

(1)求三棱锥的体积；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.

【推荐3】如图，三棱锥中，，平面，点在线段上，且满足．

(1)证明：；
(2)若二面角的正弦值为，求三棱锥的体积．

【推荐1】在边长为2的正方形中，点，分别是，上的动点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点．       

（Ⅰ）若点，分别是，的中点（如图），
①求证：；
②求三棱锥的体积；
（Ⅱ）设，，当，满足什么关系时，，两点才能重合于点？

【推荐2】如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐3】中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）.

（1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐1】如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平面的射影为线段的中点，过点，，的平面与棱交于点．

(1)证明：四边形是矩形；
(2)求平面和平面夹角的余弦值．

【推荐2】如图，在几何体中，底面四边形是正方形，平面和平面交于．

(1)求证：；
(2)若，，，，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得几何体存在，并求三棱锥的体积．
条件①：平面平面；
条件②：平面平面；
条件③：，．

【推荐3】在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，平面平面ABCD，，E为PA中点.

(1)求证：平面PBC；
(2)已知平面PAD与平面PBC的交线为，在上是否存在点N，使二面角的正弦值为？若存在，请求出PN的长；若不存在，请说明理由．