【推荐1】 如图，已知在直角梯形ABCD中，，，，，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.

【推荐2】如图，在棱长为1的正方体中．求：

（1）直线与所成的角的大小；
（2）直线与平面所成的角的余弦值；
（3）正方体的外接球体积．

【推荐3】利用极限法求半径为R的球的体积．

【推荐1】如图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积．

【推荐2】如图，已知三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC＝BC＝4，AB＝2，E、F分别是PB、PA的中点．

（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求三棱锥P－CEF的外接球的表面积．

【推荐3】如图，在长方体中，E，F分别为，的中点.

(1)证明：平面.
(2)若，，长方体外接球的表面积为，求平面与平面夹角的余弦值.

【推荐1】某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如表，其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人．该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动．并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中二等奖代表队有5人（同队内男女生仍采用分层抽样）

名次 性别	一等奖 代表队	二等奖 代表队	三等奖 代表队
男生	？	30	◎
女生	30	20	30

（1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取3人上台领奖，用X表示女生上台领奖的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．
（2）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生[﹣2，2]内的两个均匀随机数x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序．若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求代表队队员获得奖品的概率．

【推荐2】设有关于的一元二次方程．
(1)若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
(2)如果试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个，每个基本事件发生的可能性相等，而每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型．
几何概率模型的概率计算公式若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（已知该模型是几何概率模型）

【推荐3】已知某保险公司的某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数	0	1	2	3	≥4
保费（元）

随机调查了该险种的名续保人在一年内的出险情况，得到下表：

出险次数	0	1	2	3	≥4
频数	280	80	24	12	4

该保险公司这种保险的赔付规定如下：

出险序次	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次及以上
赔付金额（元）

将所抽样本的频率视为概率.
（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；
（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险次，则可获得赔付元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；
（3）续保人原定约了保险公司的销售人员在上午之间上门签合同，因为续保人临时有事，外出的时间在上午之间，请问续保人在离开前见到销售人员的概率是多少？

【推荐1】如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，H分别是棱A₁B₁，D₁C₁上的点（点E与B₁不重合），且EH∥A₁ D₁. 过EH的平面与棱BB₁，CC₁相交，交点分别为F，G．

（I） 证明：AD∥平面EFGH；
（II） 设AB=2AA₁ =2a .在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁内随机选取一点．记该点取自几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A₁B₁上运动且满足EF=a时，求p的最小值.

【推荐2】如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆直径．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为．
（i）当点在圆周上运动时，求的最大值；
（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．

【推荐3】如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．
(1)证明：平面平面;
(2)设,在圆柱内随机选取一点，记该点取自三棱柱内的概率为.
（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；
（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．