【推荐1】在数列及中，，，，．设，则数列的前2021项和为__________．

【推荐2】数列中为的前n项和，若，则_______.

【推荐3】设数列的前项和为，若成等差数列，且，则__________．

【推荐1】已知数列满足，记为数列的前n项和，，则数列的通项公式为________；若数列为等差数列，数列为等比数列且，则数列的前n项和的取值范围为________．

【推荐2】记数列的前项和为满足．且，，则数列的前项和_____．

【推荐3】已知数列满足，且，则______.

【推荐1】数列满足下列条件：，且，恒有，则______．

【推荐2】我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上一个伟大成就．现在从“杨辉三角”中去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前54项和为______．
   

【推荐3】法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.他将具有分数维的图形称为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为3，在线段上取两个点，使得，以为一边在线段的上方作一个正三角形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的线段做相同的操作，得到图3中的图形.依此类推，则第个图形中新出现的等边三角形的边长为__________；第个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为__________.