从2020年开始,部分高校实行强基计划,选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生,越来越多的学生通过参加数学竞赛来证明自己的数学实力.某省举行的数学联赛初赛有10000名学生参加,成绩数据服从正态分布N(80,100),现随机抽取了某市50名参赛学生的初赛成绩进行分析,发现他们的成绩全部位于区间[50,110]内.将成绩分成6组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),[100,110],得到如图所示的频率分布直方图,该50名学生成绩的平均分是77分.
(1)求a,b的值(同一组数据用该组区间的中点值为代表).
(2)(i)若要在全省选拔15.865%的同学通过初赛进入决赛,则分数线应定为多少?
(ii)若给成绩位于全省前228名的同学颁发初赛一等奖的证书,现从本市这50名同学里面能成功进入决赛的同学中任意抽取3人,记这3人中得到初赛一等奖的数为X,求X的分布列和数学期望.
附:若X~N(μ,σ²),则P(μ﹣σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ﹣2σ≤X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
(1)求a,b的值(同一组数据用该组区间的中点值为代表).
(2)(i)若要在全省选拔15.865%的同学通过初赛进入决赛,则分数线应定为多少?
(ii)若给成绩位于全省前228名的同学颁发初赛一等奖的证书,现从本市这50名同学里面能成功进入决赛的同学中任意抽取3人,记这3人中得到初赛一等奖的数为X,求X的分布列和数学期望.
附:若X~N(μ,σ²),则P(μ﹣σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ﹣2σ≤X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
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更新时间:2021-06-20 20:03:53
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解题方法
【推荐1】一家养鸡场养了甲、乙两个品种的产蛋鸡,在甲、乙两个品种的产蛋鸡中各随机抽取1000只,分别记录其日产蛋量.根据产蛋期的记录,绘制了日产蛋量的频率分布直方图,如图所示(视频率为概率).
(1)若甲、乙两种鸡的日产蛋量相互独立,记“甲、乙两种鸡的日产蛋量都不低于850个”为事件,试估计事件发生的概率;
(2)由于甲、乙两种鸡的食量和产蛋的大小不同,甲品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为,日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为,日产蛋量不小于900个的利润率为;乙品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为,日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为,日产蛋量不小于900个的利润率为.若在甲、乙两个品种上各投资10万元,(单位:万元)和(单位:万元)分别表示投资甲、乙两个品种所获得的利润,求和的数学期望,并对甲、乙两个品种的投资进行分析比较.
(1)若甲、乙两种鸡的日产蛋量相互独立,记“甲、乙两种鸡的日产蛋量都不低于850个”为事件,试估计事件发生的概率;
(2)由于甲、乙两种鸡的食量和产蛋的大小不同,甲品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为,日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为,日产蛋量不小于900个的利润率为;乙品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为,日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为,日产蛋量不小于900个的利润率为.若在甲、乙两个品种上各投资10万元,(单位:万元)和(单位:万元)分别表示投资甲、乙两个品种所获得的利润,求和的数学期望,并对甲、乙两个品种的投资进行分析比较.
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【推荐2】某学校进行体验,现得到所有男生的身高数据,从中随机抽取人进行统计(已知这个身高介于到之间),现将抽取结果按如下方式分成八组:第一组,第二组,,第八组,并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图,其中第六组和第七组还没有绘制完成,已知第一组与第八组人数相同,第六组和第七组人数的比为.
()补全频率分布直方图;
()根据频率分布直方图估计这位男生身高的中位数;
()用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为的样本,从样本中任意抽取位男生,求这两位男生身高都在内的概率.
()补全频率分布直方图;
()根据频率分布直方图估计这位男生身高的中位数;
()用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为的样本,从样本中任意抽取位男生,求这两位男生身高都在内的概率.
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【推荐3】某工厂生产某种电子产品配件,关键环节是需要焊接“接线盒”,焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”,公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异,得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值,将该指标大于的产品判定为“不合格”,小于或等于的产品判定为“合格”.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率,记为;错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率,记为.假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏检率时,求临界值和错检率;
(2)设函数,当时,求的解析式,并求在区间的最小值.
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值,将该指标大于的产品判定为“不合格”,小于或等于的产品判定为“合格”.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率,记为;错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率,记为.假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏检率时,求临界值和错检率;
(2)设函数,当时,求的解析式,并求在区间的最小值.
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名校
【推荐1】某学校有1000人,想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者,如果对每个人的血样逐一化验,需要化验1000次,统计专家提出了一种方法:随机地按10人一组分组,然后将各组10个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性,说明这10个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一个人呈阳性,就需要对这组的每个人再分别化验一次.假设某学校携带病毒的人数有10人.()
(1)用样本的频率估计概率,若5个人一组,求一组混合血样呈阳性的概率;
(2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组,问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少?为什么?
(1)用样本的频率估计概率,若5个人一组,求一组混合血样呈阳性的概率;
(2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组,问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少?为什么?
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【推荐2】某企业发明了一种新产品,其质量指标值为,其质量指标等级如下表:
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线,该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件,将其质量指标值m的数据作为样本,绘制如下频率分布直方图:
(1)若将频率作为概率,从该产品中随机抽取2件产品,求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率;
(2)若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品,然后从这7件产品中任取3件产品,求的件数X的分布列及数学期望;
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位:万元)的关系如下表():
试分析生产该产品能否盈利?若不能,请说明理由;若能,试确定t为何值时,每件产品的平均利润达到最大.
质量指标值m | |||||
质量指标等级 | 良好 | 优秀 | 良好 | 合格 | 废品 |
(1)若将频率作为概率,从该产品中随机抽取2件产品,求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率;
(2)若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品,然后从这7件产品中任取3件产品,求的件数X的分布列及数学期望;
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位:万元)的关系如下表():
质量指标值m | |||||
利润y(元) | 4t | 9t | 4t | 2t |
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解题方法
【推荐3】足球运动是世界上第一运动,它不仅体现了力量和速度的完美结合,还诠释了团队配合的重要性.现甲、乙两队进行一场足球比赛.根据以往数据统计,比赛常规时间内,甲队获胜的概率为,踢平的概率为;若常规时间内两队踢平,则进入加时赛,加时赛中,乙队获胜的概率为,踢平的概率为;若加时赛中两队踢平,则进入点球大战,点球大战中没有平局,两队获胜的概率均为.
(1)哪一队获胜的概率大,请用数据说明;
(2)在同一赛季中,甲乙两队相遇3次,且只进行常规比赛,胜一场计3分,平一场计1分,输一场计0分,设甲队三场比赛得分总数为,求的分布列及数学期望.
(1)哪一队获胜的概率大,请用数据说明;
(2)在同一赛季中,甲乙两队相遇3次,且只进行常规比赛,胜一场计3分,平一场计1分,输一场计0分,设甲队三场比赛得分总数为,求的分布列及数学期望.
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【推荐1】某地区教育局数学教研室为了了解本区高三学生一周用于数学学习时间的分布情况,做了全区8000名高三学生的问卷调查,现抽取其中部分问卷进行分析(问卷中满时长为12小时),将调查所得学习时间分成,,,,,6组,并绘制成如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
参考数据:若随机变量服从正态分布,则,,.
(1)求a的值;
(2)以样本估计总体,该地区高三学生数学学习时间近似服从正态分布,试估计该地区高三学生数学学习时间在内的人数;
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在,内的学生随机抽取8人,并从这8人中再随机抽取3人作进一步分析,设3人中学习时间在内的人数为变量X,求X的期望.
参考数据:若随机变量服从正态分布,则,,.
(1)求a的值;
(2)以样本估计总体,该地区高三学生数学学习时间近似服从正态分布,试估计该地区高三学生数学学习时间在内的人数;
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在,内的学生随机抽取8人,并从这8人中再随机抽取3人作进一步分析,设3人中学习时间在内的人数为变量X,求X的期望.
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名校
【推荐2】“爱国,是人世间最深层、最持久的情感,是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中,爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入x(亿元)与科技改造直接收益y(亿元)的数据统计如下:
当时,建立了y与x的两个回归模型:模型①:;模型②:;
当时,确定y与x满足的线性回归方程为:.
(1)当时,根据下列表格中的数据,比较模型①、②的相关指数的大小,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.
(附:刻画回归效果的相关指数,)
(2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小;
(附:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式;)
(3)科技改造后,“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高,X服从正态分布,公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过50%,不予奖励;若发动机的热效率超过50%每台发动机奖励2000元,公司现有发动机1000台,求科技改造团队获得奖励金额的数学期望(单位:万元).
附:随机变量服从正态分布,,.
x | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
y | 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 68.5 | 68 | 67.5 | 66 | 66 |
当时,确定y与x满足的线性回归方程为:.
(1)当时,根据下列表格中的数据,比较模型①、②的相关指数的大小,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 | ||
182.4 | 79.2 |
(2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小;
(附:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式;)
(3)科技改造后,“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高,X服从正态分布,公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过50%,不予奖励;若发动机的热效率超过50%每台发动机奖励2000元,公司现有发动机1000台,求科技改造团队获得奖励金额的数学期望(单位:万元).
附:随机变量服从正态分布,,.
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【推荐3】随着时代发展和社会进步,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2020年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分视为100分)作为样本,整理得到如下频数分布表:
(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀,若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人,求至少有1人笔试成绩为优秀的概率;
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布,其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替),,据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于85.9的人数(结果四舍五入精确到个位)
(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛,该竞赛要回答3道题,前两题是哲学知识,每道题答对得3分,答错得0分;最后一题是心理学知识,答对得4分,答错得0分.已知考生甲答对前两题的概率都是,答对最后一题的概率为,且每道题答对与否相互独立,求考生甲的总得分的分布列及数学期望.
(参考数据:;若,则,,.)
笔试成绩 | ||||||
人数 | 5 | 10 | 25 | 30 | 20 | 10 |
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布,其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替),,据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于85.9的人数(结果四舍五入精确到个位)
(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛,该竞赛要回答3道题,前两题是哲学知识,每道题答对得3分,答错得0分;最后一题是心理学知识,答对得4分,答错得0分.已知考生甲答对前两题的概率都是,答对最后一题的概率为,且每道题答对与否相互独立,求考生甲的总得分的分布列及数学期望.
(参考数据:;若,则,,.)
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