【推荐1】设数组，，，数称为数组的元素．对于数组，规定：
①数组中所有元素的和为；
②变换，将数组变换成数组，其中表示不超过的最大整数；
③若数组，则当且仅当时，．
如果对数组中任意个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组具有性质．
（Ⅰ）已知数组，，计算，，并写出数组是否具有性质；
（Ⅱ）已知数组具有性质，证明：也具有性质；
（Ⅲ）证明：数组具有性质的充要条件是．

【推荐2】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.

【推荐3】设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.
（1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且，，，求的最小值；
（3）若集合，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.

【推荐1】一个简单图中两两相邻的t个顶点称为一个团，与其余每个顶点均相邻的顶点称为中心点.给定整数及满足的整数k，一个n阶简单图G中不存在k+1团，其全部k团记为.
（1）证明：；
（2）若在图G中再添加一条边就存在k+1团，求图G的中心点个数的最小值.

【推荐2】凸边形玫瑰园的个顶点各栽有1棵红玫瑰，每两棵红玫瑰之间都有一条直小路想通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形、……），每块区域都栽有一棵白玫瑰（或黑玫瑰）.
（1）求出玫瑰园里玫瑰总棵树的表达式.
（2）花园里能否恰有99棵玫瑰？说明理由.

【推荐3】个人在某个节日期间互通电话问候，已知其中每个人至多打通了三个朋友家的电话，任何两个人之间至多进行一次通话，且任何三个人中至少有两人，其中一个人打通了另一个人家里的电话，求的最大值.

【推荐1】某歌舞团有名演员，他们编排了一些节目，每个节目都由四名演员同台表演．在一次演出中，他们发现：能适当安排若干个节目，使团中每两名演员都恰有一次在这次演出中同台表演．求的最小值．

【推荐2】给定空间中十个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.

【推荐3】求最大实数，使得对任意阶简单图，有不等式，其中，为图的边数，为图中三角形的个数.