【推荐1】在中，D为边的中点，经过的中点E的直线交线段，于点M，N，若，，则______；该直线将分成的两部分，即与四边形的面积之比的最小值是______．

【推荐2】在中，内角，，所对的边为，，，且，，则下列说法正确的是______.
①；②；③周长的最大值为3；④的最大值为．

【推荐3】如图，一个圆柱内接于一个圆锥，且圆锥的轴截面为面积是的正三角形．设圆柱底面半径为，高为，则的最小值为______，圆柱的最大体积为______．

【推荐1】正六棱锥底面边长为a，体积为，则侧棱与底面所成的角为____________.

【推荐2】已知的顶点都在半径为的球的球面上，且，，，则棱锥的体积为______.

【推荐3】如图，平面四边形，将沿折起到的位置，此时二面角的大小为，连接，则三棱锥外接球的表面积为______;三棱锥的体积为___________.

【推荐1】如图，正方体的棱长为1，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记平面截正方体表面所得截面多边形的面积为y，令，，当时，则______，函数的值域为______．

【推荐2】2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为_________.

【推荐3】如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是______.

【推荐1】在正方体中，二面角的余弦值为___________．

【推荐2】所在平面外一点P到三角形三个顶点距离相等,那么点P在平面内的射影一定是的_______.

【推荐3】已知表面积为54的正方体的顶点都在球O上，过球心O的平面截正方体所得的截面过正方体相对两棱，的中点F，E，设该截面与及的交点分别为M，N，点P是正方体表面上一点，则以截面EMFN为底面，以点P为顶点的四棱锥的体积的最大值为___________.