【推荐1】已知是双曲线的两个焦点，离心率等于的椭圆E与双曲线的焦点相同，动点满足，曲线M的方程为．
（1）求椭圆E的方程．
（2）判断直线与曲线M的公共点的个数，并说明理由；当直线与曲线M相交时，求直线截曲线M所得弦长的取值范围．

【推荐2】2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米．
(1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程；
(2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位）

【推荐3】已知椭圆的方程：，右准线方程为，右焦点为椭圆的左顶点.

(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆在轴上方一点，点在右准线上且满足且，求直线的方程.

【推荐1】已知椭圆：的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．
(1)求的方程；
(2)已知直线：与椭圆相交于两点，，求线段的长度；
(3)经过点作直线，交椭圆于、两点如果恰好是线段的中点，求直线的方程．

【推荐2】已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆C经过点
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设过点F(1，0)的斜率存在的直线l与C交于M，N两点，点Q在x轴上，且|MQ|=|NQ|，是否存在常数λ使|MN|=λ|QF|？如果存在，请求出λ；如果不存在，请说明理由.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知点，，直线PA与直线PB的斜率乘积为，点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)分别过，做两条斜率存在的直线分别交于C，D两点和E，F两点，且，求直线CD的斜率与直线EF的斜率之积．

【推荐1】P为圆上一动点，过点P作x轴的垂线PD，D为垂足（P、D不重合），线段PD的中点M的轨迹记为E．
（1）求E的方程；
（2）试问在E上是否存在两点M、N，它们关于直线对称，且以MN为直径的圆恰好过原点？若存在求出直线MN的方程；若不存在说明理由．

【推荐2】设椭圆：过点，且离心率为，直线过点，且与椭圆交于不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求·的取值范围．

【推荐3】已知椭圆：的离心率为，椭圆的上顶点为，过点且不垂直于轴直线与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围；
(3)若点关于轴的对称点为点，证明：直线与轴相交于定点.

【推荐1】已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线(不过原点)与椭圆交于两点､，为线段的中点.
（i）证明：直线与的斜率乘积为定值；
（ii）求面积的最大值及此时的斜率.

【推荐3】设椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，若椭圆上的点到直线的最小距离为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过F₁作直线交椭圆E于A，B两点，设直线AF₂，BF₂与直线l分别交于C，D两点，线段AB，CD的中点分别为M，N，O为坐标原点，若M，O，N三点共线，求直线AB的方程．