【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于、两点，当为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知直线满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，若以线段为直径的圆始终过点，试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若，的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2），，试分析是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．

【推荐1】已知椭圆的右焦点为F(1，0)，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值；
（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆E过且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点F重合，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设O为坐标原点，线段上是否存在点，使得＝？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线过定点．

【推荐3】已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值；
(3)如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动.

【推荐1】已知离心率为的椭圆，右焦点到椭圆上的点的距离的最大值为3．
   
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上两个动点，直线与椭圆的另一交点分别为，且直线的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由．

【推荐2】已知椭圆的短轴长为2，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设与圆相切的直线交椭圆于两点（为坐标原点），求线段长度的最大值.

【推荐3】已知椭圆的左顶点为Q，离心率为.若过点P（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，且当直线l垂直于x轴时，.
(1)求C的方程；
(2)若直线QA，QB的斜率存在且分别为，，求证：为定值.

【推荐1】已知椭圆过点，且它的离心率．直线l：y=kx+t与椭圆C₁交于M、N两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求证：M、N两点的横坐标的平方和为定值；
（Ⅲ）若直线l与圆相切，椭圆上一点P满足，求实数m的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的焦距为，以椭圆C的右顶点A为圆心的圆与直线相交于P，Q两点，且．
(1).求椭圆C的标准方程和圆A的方程．
(2).不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，已知直线OM，l，ON的斜率成等比数列，记以线段OM，线段ON为直径的圆的面积分别为
则的值是否为定值?若是，求出此值：若不是，说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知椭圆：（，）的右焦点，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆交于，两点，，，且的面积.
①求证：为定值；
②设直线的中点，求的最大值.