【推荐1】已知椭圆M的焦点与双曲线N：的顶点重合，且椭圆M短轴的端点到双曲线N渐近线的距离为3．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线l与椭圆M交于A，B两点，若弦中点为，求直线的方程．

【推荐2】已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．
       
(1)若是的一条渐近线的一个法向量，试求的两渐近线的夹角；
(2)若，，，，试求双曲线的方程；
(3)在（1）的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．

【推荐3】求双曲线上任意一点M到两条渐近线的距离的乘积、并把结论推广到一般的双曲线．

【推荐1】已知双曲线：（，）的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为1.
(1)求的标准方程；
(2)过点的直线与交于，两点，点在上，且线段轴.问：直线是否经过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由.

【推荐2】已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到右焦点的距离与到直线 的距离之比为.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值.

【推荐3】已知双曲线经过点，两个焦点在轴上，离心率为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若斜率为的直线与双曲线相交于，两点，点关于轴对称点为，点关于轴对称点为，设直线的斜率为，请问与的乘积是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．

【推荐1】已知双曲线C的渐近线方程为，点在双曲线C上，直线与双曲线交于A，B两点，记斜率分别为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)是否存在常数k，使为定值，若存在，求常数k和的值，不存在说明理由．

【推荐2】已知双曲线方程为.
（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值；
（2）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，圆：，，P是圆上的一个动点，线段的垂直平分线l与直线交于点M．记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：为定值．