【推荐1】如图，在长方体木块中，，，．棱上有一动点．
   
(1)若，过点画一个与棱平行的平面，使得与此长方体的表面的交线围成一个正方形（其中交线在平面内）．在图中画出这个正方形（不必说出理由），并求平面将长方体分成的两部分的体积比；
(2)若平面交棱于，求四边形的周长的最小值．

【推荐2】如图，在三棱柱中，底面ABC，，且，满足，.

（1）证明：.
（2）若G为侧面上一动点，且EG平面，求点G在侧面上运动的轨迹长度.

【推荐3】某工厂有一批材料被预定制作“阳马”（中国古代算数中的一种几何体，是底面为长方形，两个三角侧面与底面垂直的四棱锥体），材料是由底面为的正四棱柱被截面所截而得到的几何体，每一块材料制作一个“阳马”．材料的尺寸如图所示，，，．

（1）求通过此材料制作成的“阳马”中，最长的棱的长度；
（2）求平面与底面所夹锐角的余弦值．

【推荐1】如图1，平面四边形中，和均为边长为的等边三角形，现沿将折起，使，如图2.

（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.

【推荐2】如图，直三棱柱中，分别是的中点，.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面.

【推荐3】如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，且，，，，平面平面.

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值，求点与平面的距离.

【推荐1】如图1，正方形ABCE，，延长CE到达D，使，M，N两点分别是线段AD，BE上的动点，且．将三角形ADE沿AE折起，使点D到达的位置（如图2），且．

(1)证明：平面；
(2)当M，N分别为和BE的中点时，判断MN的长度是否最短并求出；
(3)当MN的长度最短时，求平面与平面EMN所成角（锐角）的余弦值．

【推荐2】在四棱柱中，底面，四边形是边长为的菱形，分别是和的中点，
（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；

【推荐3】如图，四棱柱的底面是菱形底面，.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求面与平面所成角的正弦值.