【推荐1】如图，已知正方体的棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内的动点，且点到平面的距离等于线段的长．当点运动时，的最小值是________．

   

【推荐2】综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为72cm的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支，另一个反射镜弧所在的曲线为抛物线.已知，是双曲线的两个焦点，且关于点对称，其中同时又是抛物线的焦点，若尺寸满足，，，则双曲线的方程为_______，抛物线的方程为_______.

【推荐3】已知抛物线 的焦点在直线 上滑动，对称轴作平行移动，当抛物线的焦点移到点 时，抛物线方程为________________．

【推荐1】已知直线l过抛物线的焦点F，并与抛物线相交于A，B两点，点M是直线AB的中点，设点M在抛物线的准线上的射影为点N，设α，β是△ABN中的两个锐角，则的取值范围为__________.

【推荐2】已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线交于，两点，点，则______；______.

【推荐3】已知直线过抛物线的焦点，与相交于两点，且．若线段的中点的横坐标为3，则焦点的坐标为_______；直线的斜率为_______．

【推荐1】已知正数a，b满足，则的最小值为___________

【推荐2】过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时，直线l的方程为___.

【推荐3】若，则的最小值为___________.