【推荐1】已知数列满足，，则______．

【推荐2】已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，，且对于任意的正整数均有.（1）若，则______；（2）若，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是______.

【推荐3】已知数列满足，均在双曲线上，则__．

【推荐1】已知数列满足以下条件：，其中m，n为任意正整数且.则_______；________.

【推荐2】若数列是等比数列，且，，，则________．

【推荐3】九连环是中国的一种古老智力游对，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）.现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列满足，，则___________.

【推荐1】已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是______.

【推荐2】已知数列满足，则的前20项和为___________.

【推荐3】设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前n项和_____．

【推荐1】下图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型,数字1出现在第1行;数字2、3出现在第2行;数字6、5、4(从左至右)出现在第3行;数字7、8、9、10出在第4行;依次类推.若表示第行第列(从左至右)的对应的数,例如则 _______.

【推荐2】如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第行从右至左的第3个数为___________．

【推荐3】在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知第1个图中的三角形的面积为1，记第n个图形的面积为，则___________.