【推荐1】意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
(3)（i）证明：当时，；
（ii）证明：.

【推荐2】已知（e为自然对数的底数）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，设，求函数零点的个数；
(3)，，求实数的取值范围.

【推荐3】已知函数．
(1)曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的下方；
(2)若关于的方程（为实数）有不等实根，求证：．

【推荐1】已知函数．
(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若函数有三个不同的极值点，，，且，求实数a的取值范围．

【推荐2】已知函数，．
（1）若曲线与在处的切线相同，求的值；
（2）求证：；
（3）若方程有且仅有一解，求的值．

【推荐3】已知函数，其中且，若，在处切线的斜率为．
(1)求函数的解析式及其单调区间；
(2)若实数满足，且对于任意恒成立，求实数的取值范围．