【推荐1】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a>b> 0）的左、右焦点分别为F₁（-c， 0）， F₂（c，0）.已知（1， e）和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率. A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂ 与BF₁交于点P.

（1）求椭圆的方程∶
（2）若，求直线AF₁的斜率；
（3）求证∶是定值.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，与轴交于点，，过轴上一点引轴的垂线，交椭圆于点，，当与椭圆右焦点重合时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与直线交于点，是否存在定点和，使为定值．若存在，求、点的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左、右焦点分别是F₁、F₂，过点F₁的直线l交椭圆C于E、G两点，且△EGF₂的周长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足＋＝t (O为坐标原点)，当|－|＜时，求实数t的取值范围．

【推荐1】已知，，为坐标平面内一动点，直线，的斜率，满足：.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过上一点作不与坐标轴平行的直线与相切，交轴于点，为坐标原点，试确定轴上是否存在定点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【推荐2】定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆E₁，E₂，它们的长短半轴长分别为a₁，b₁和a₂，b₂，若满足a₂=a₁^k，b₂=b₁^k（k∈Z，k≥2），则称E₂为E₁的k级相似椭圆，已知椭圆E₁:=1，E₂为E₁的2级相似椭圆，且焦点共轴，E₁与E₂的离心率之比为2：．
（Ⅰ）求E₂的方程；
（Ⅱ）已知P为E₂上任意一点，过点P作E₁的两条切线，切点分别为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．
①证明：E₁在A(x₁，y₁)处的切线方程为=1；
②是否存在一定点到直线AB的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知椭圆C：，过C上一点的切线l的方程为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由．