【推荐1】已知数列，满足，其中，.
(1)若，.
①求证：为等比数列；
②试求数列的前n项和.
(2)若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？

【推荐2】求数列：的周期.

【推荐3】已知首项为的数列满足（为常数）.
（1）若对任意的，有对任意的都成立，求的值；
（2）当时，若，数列是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当确定后，数列由其首项确定.当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列”的一个真命题（不必证明）.

【推荐1】已知数列为公差不为的等差数列，，且、、成等差数列．
(1)求的值；
(2)若数列满足，求数列的前项和．

【推荐2】记数列的前项和为，且.
(1)若，求；
(2)若是等差数列，证明：.

【推荐3】已知数列的前项和，.
（1）求数列中的项的值；
（2）设，求数列的前项和.

【推荐2】某情报站有．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用密码，表示第周使用密码的概率．
(1)求；
(2)求证：为等比数列，并求的表达式．

【推荐3】设等比数列的公比不为1，为，的等差中项.
（1）数列的公比；
（2）若，设，求.

【推荐1】设是各项都为正的单调递增数列，已知，且满足关系式：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项积.

【推荐2】某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．
(1)若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

【推荐3】已知数列中,,．
(1)求数列的通项;
(2)设,,求证:．