【推荐1】已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线的倾斜角为，且．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点A是椭圆E的左顶点，P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线、的斜率之积为，问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点．说明理由．

【推荐2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在坐标轴上，短轴长为4，离心率为；
（2）与椭圆有相同的焦点，且过点.

【推荐3】已知椭圆的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线与椭圆有且仅有一个公共点，分别过两点作，垂足分别为，且记为点到直线的距离, 为点到直线的距离，为点到点的距离，试探索是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆的离心率，且过点．
（1）求椭圆方程；
（2）已知、为椭圆的上、下两个焦点，是过焦点的一条动弦，求面积的最大值．

【推荐2】已知椭圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，轴于点，轴于点，直线交直线于点，试证明与的面积相等．

【推荐3】设O为坐标原点，椭圆的离心率为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于P，Q两点，且的面积是，求证：．

【推荐1】已知圆F₁：（x+1）²+y²=16，F₂（1，0），P是圆F₁上的一个动点，F₂P的中垂线l交F₁P于点Q.
(1)求点Q的轨迹E的方程；
(2)若斜率为k（k≠0）的直线l₁与点Q的轨迹E交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线过定点（，0），求k的取值范围.

【推荐2】已知椭圆方程 短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)作直线与椭圆交于两个不同的点，如果线段MN的中点在直线上，求直线的斜率的取值范围．

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，已知，分别是椭圆：的左焦点和右焦点.
(1)求焦点，的坐标；
(2)设T是椭圆C上的任意一点，求取值范围；
(3)设，与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于B，D两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.

【推荐1】在中，、、分别为内角、、的对边，已知，且边上的中线长为．
（1）证明：；
（2）求面积的最大值．

【推荐2】2021年5月，在美丽崇明岛将举办第十届中国花卉博览会，主办方要对布展区域精心规划，如图扇形OMN是一个布展区域的平面示意图，其中扇形半径为100米，∠MON＝．

（1）如图1，主办方在该区域内铺设了一条由线段AB和弧BN组成的道路，线段AB的一个顶点B在弧MN上，另一顶点A在半径OM上，且AB∥ON，经测量线段OA的长为80米，现主办方拟在道路的弧BN段布置一根灯带，求所需灯带的长度（答案精确到0.1）(参考数值)；
（2）如图2，拟在该区域内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值．

【推荐3】已知中，内角，，的对边分别为，，，且，是关于的方程的两个实根，.
(1)求角的大小；
(2)求面积的取值范围.