【推荐1】求，其中，（为常数）.

【推荐2】如图,直线与抛物线相交于不同的两点,且（为正常数）,线段中点为.设是与直线平行且与抛物线恰有唯一交点的直线,记该交点为.

(1)用表示出点的坐标,并证明垂直于轴;
(2)求的面积（只与有关,与无关）;
(3)张三同学在完成上述两小题后,分别连接,再作与分别平行且与抛物线交点唯一的直线,交点分别为,他立即写出了的面积,由此求出了直线与抛物线所围成图形的面积,你认为张三能做到吗？若能,请你也求出该图形的面积;若不能,请说明理由.

【推荐3】若数列满足(，且为实常数)，，则称数列为数列.
（1）若数列的前三项依次为，，，且为数列，求实数的取值范围；
（2）已知是公比为的等比数列，且，记.若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围；
（3）记无穷等差数列的首项为，公差为，证明：“”是“为数列”的充要条件.

【推荐1】设数列，的前项和分别为，，已知，.数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】在数列，中，，，.等差数列的前两项依次为.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.

【推荐3】已知正项等比数列的前项和为，满足，.记.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值.

【推荐1】正项数列的前项和满足.
(1)求，，；
(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.

【推荐2】设数列的前项和为，且方程有一根为．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并给出严格的证明．

【推荐3】正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*均为成立．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式并证明；
（3）比较与的大小并给出证明．

【推荐1】已知数列的前项和为且；等差数列前项和为满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求数列的前项和.

【推荐2】已知等比数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
(3)记，求证：.

【推荐3】定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列，对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.
（1）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；
（2）已知数列的首项为2010，是数列的前项和，且满足，证明是“三角形”数列；
（3）根据“保三角形函数的定义，对函数，和数列1，提出一个正确的命题，并说明理由.