【推荐1】在半径为的球内有一个内三棱锥，点都在球面上，且是边长为的等边三角形，那么三棱锥体积的最大值为_________．

【推荐2】是边长为的等边三角形，、分别在线段、上滑动，，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，则四棱锥的体积的最大值为_______________.

【推荐3】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是______________________________；

【推荐1】如图，在直三棱柱中，，若为空间一动点，且，则满足条件的所有点围成的几何体的体积为_____________；若动点在侧面内运动，且，则线段长的最小值为_____________．
   

【推荐2】在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m、高为4m的正四棱柱形的石料中，雕出一个四棱锥和球M的组合体，其中O为正四棱柱的中心，当球的半径r取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重___________kg.（最后结果保留整数，其中，石料的密度，质量）

【推荐3】已知底面是正六边形的六棱锥的七个顶点均在球O的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为，则球O的体积为________.

【推荐1】在正四面体中，以为直径作球，点在球与的中垂面相交所得的圆上运动，当三棱锥的体积的最小值为时，该正四面体外接球的体积为__________．

【推荐2】一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一球面上，则此球的体积为___________.

【推荐3】一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式，其中为球的半径，为球缺的高.若一球与一棱长为的正四面体的各棱均相切，则该球的半径为_________，该球被此正四面体的一个侧面所截得的球缺（小于半球）的体积为____________．

【推荐1】已知三棱柱中，平面，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的大小为______.

【推荐2】如图，在边长为4的正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时，______.设点和满足条件的所有点构成的平面图形为，则直线与平面所成角正弦值的取值范围是______.

【推荐3】点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，平面ABC，，在中，底边，，则P到BC的距离为________