已知自然数集
，非空集合
.若集合E满足：对任意
，存在
，使得
，称集合E为集合A的一组m元基底.
(1)分别判断下列集合E是否为集合A的一组二元基底，并说明理由：
①
；
②
.
(2)若集合E是集合A的一组m元基底，证明：
；
(3)若集合E为集合
的一组m元基底，求m的最小值.
，非空集合.若集合E满足：对任意，存在，使得，称集合E为集合A的一组m元基底.(1)分别判断下列集合E是否为集合A的一组二元基底，并说明理由：
①
；②
.(2)若集合E是集合A的一组m元基底，证明：
；(3)若集合E为集合
的一组m元基底，求m的最小值.
更新时间：2023-11-03 09:47:37
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】已知集合
，对于
的一个子集
，若存在不大于
的正整数
，使得对中的任意一对元素
，都有
，则称具有性质
．
(1)当
时，试判断集合
和
是否具有性质？并说明理由；
(2)当时
，若集合具有性质，
①判断集合
是否一定具有性质？并说明理由；
②求集合中元素个数的最大值．
，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质．(1)当
时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由；(2)当时
，若集合具有性质，①判断集合
是否一定具有性质？并说明理由；②求集合中
元素个数的最大值．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】已知集合
，对于
，
，定义A与B的差为
，A与B之间的距离为
.
(1)直接写出
中元素的个数，并证明：任意
，有
；
(2)证明：任意
，有
是偶数；
(3)证明：
，有
.
，对于，，定义A与B的差为，A与B之间的距离为.(1)直接写出
中元素的个数，并证明：任意，有；(2)证明：任意
，有是偶数；(3)证明：
，有.
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，对于
，则称
和
是否具有性质
，若集合
是否一定具有性质
解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】定义：对于函数
，若
，则称
为的“不动点”，若
，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”集合分别记为和
，即
.
(1)证明下面两个性质：
性质1：
；
性质2：若函数单调递增，则
；
(2)已知函数
，若集合
中恰有1个元素，求
的取值范围.
，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”集合分别记为和，即.(1)证明下面两个性质：
性质1：
；性质2：若函数
单调递增，则；(2)已知函数
，若集合中恰有1个元素，求的取值范围.
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐2】对于非空有限整数集X，
，定义
，对
现有两个非空有限整数集A，B，已知
且
．
(1)当
时求集合B；
(2)证明：
；
(3)当
且
时，任取
构造函数
问：当a，b取何值时，的最小值最小?
，定义，对现有两个非空有限整数集A，B，已知且．(1)当
时求集合B；(2)证明：
；(3)当
且时，任取构造函数问：当a，b取何值时，的最小值最小?
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， 若存在
，使得
的 “不动点”;若存在
，则称
的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即
，求A和B；
，且
，求实数a的取值范围.
解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐1】设集合
，集合
，
集合
中满足条件“
”的元素个数记为
．
（1）求
和
的值；
（2）当
时，求证：
．
，集合，集合
中满足条件“”的元素个数记为．（1）求
和的值；（2）当
时，求证：．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】设为非空集合，令
，则
的任意子集
都叫做从到的一个关系（
），简称上的关系．例如
时，
，
，
，
等都是上的关系．设为非空集合上的关系．如果满足：
①（自反性）若
，有
，则称在上是自反的；
②（对称性）若
，有
，则称在上是对称的；
③（传递性）若
，
，有
，则称在上是传递的；
称为上的等价关系．
(1)已知．用列举法写出，然后写出上的关系有多少个，最后写出上的所有等价关系．（只需写出结果）
(2)设
和
是某个非空集合上的关系，证明：
（ⅰ）若，是自反的和对称的，则
也是自反的和对称的；
（ⅱ）若，是传递的，则
也是传递的．
(3)若给定的集合有个元素
，
为的非空子集，满足
且两两交集为空集．求证：
为上的等价关系．
为非空集合，令，则的任意子集都叫做从到的一个关系（），简称上的关系．例如时，，，，等都是上的关系．设为非空集合上的关系．如果满足：①（自反性）若
，有，则称在上是自反的；②（对称性）若
，有，则称在上是对称的；③（传递性）若
，，有，则称在上是传递的；称
为上的等价关系．(1)已知
．用列举法写出，然后写出上的关系有多少个，最后写出上的所有等价关系．（只需写出结果）(2)设
和是某个非空集合上的关系，证明：（ⅰ）若
，是自反的和对称的，则也是自反的和对称的；（ⅱ）若
，是传递的，则也是传递的．(3)若给定的集合
有个元素，为的非空子集，满足且两两交集为空集．求证：为上的等价关系．
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【推荐3】设集合的元素均为实数，若对任意，存在
，
，使得
且
，则称元素个数最少的和
为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依此类推……
（1）设
，直接写出集合的“孪生集”；
（2）设元素个数为的集合的“孪生集”分别为和，若使集合
中元素个数最少且所有元素之和为2，证明：中所有元素之和为
；
（3）若
，请直接写出的“级孪生集”的个数，及所有“级孪生集”的并集
的元素个数.
的元素均为实数，若对任意，存在，，使得且，则称元素个数最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依此类推……（1）设
，直接写出集合的“孪生集”；（2）设元素个数为
的集合的“孪生集”分别为和，若使集合中元素个数最少且所有元素之和为2，证明：中所有元素之和为；（3）若
，请直接写出的“级孪生集”的个数，及所有“级孪生集”的并集的元素个数.
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