【推荐1】在直三棱柱中，、分别是、的中点，，，．
   
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．

【推荐2】已知直三棱柱中，，，．

(1)若为的中点，证明：平面；
(2)将两块形状与该直三棱柱完全相同的木料按如图所示两种方案沿阴影面进行分割，把木料一分为二，留下体积较大的一块木料．根据你所学的知识，请判断采用哪一种方案会使留下的木料表面积较大，并求出这个较大的表面积和说明理由．

【推荐3】如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（该棱柱的各个顶点均在圆锥侧面上），且棱柱侧面侧面落在圆锥底面上，已知正三棱柱的底面边长为6，高为8.
       
(1)求挖掉的正三棱柱的体积；
(2)求剩余几何体的体积和表面积.

【推荐1】在棱长为4的正方体中，O是正方形的中心，点P在棱上，且．

(1)求直线AP与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(2)设O点在平面上的射影是H，求证：；
(3)求点P到平面的距离．

【推荐2】如图，四边形是正方形，平面为的中点，为的外心.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【推荐3】已知斜三棱柱, , ,在底面上的射影恰为 的中点 ,又知 .

(Ⅰ)求证：平面 ；
(Ⅱ)求到平面 的距离；
(Ⅲ)求二面角的大小．

【推荐1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形．过点作平面交棱于点．，，，．

（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离．

【推荐2】木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧.很多古代建筑和家具保存到现代依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用.如图，楔子状五面体EF-ABCD的底面ABCD为一个矩形，AB=8，AD=6，EF平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=5，设M，N分别是AD，BC的中点.

(1)证明：E，F，M，N四点共面，且平面EFNM⊥平面ABCD；
(2)若二面角F-BC-A的大小为，求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值.

【推荐3】如图所示的几何体中，正方形与梯形所在的平面互相垂直，， ，，.

（1）求证:平面；
（2）求证:平面平面；
（3）求二面角的余弦值.

【推荐1】如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，，．

（1）求证：．
（2）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度．

【推荐2】已知四棱锥的底面为平行四边形，且平面ABCD,,,分别为中点，过作平面分别与线段相交于点.

(1)在图中作出平面，使面平面SAD (不要求证明）；
(2)若，是否存在实数，使二面角的平面角大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【推荐3】如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，在边上．

（1）求证：平面平面；
（2）当是边上的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若二面角的大小为，求的长．