【推荐1】如图，椭圆：（，，是椭圆的左焦点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，且，点是长轴上的任一定点，过点的任一直线交椭圆于两点.

(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出定点的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与圆相交于、，与椭圆相交于、，且，求．

【推荐1】如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.
   
(1)求椭圆的方程；
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，则在轴上一定存在定点，使得以为直径的圆恒过点，试求出点的坐标.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，上顶点为，且．
(1)求的标准方程；
(2)不过原点的直线与交于不同的两点、，在的延长线上取一点使得，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若，试求直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值．

【推荐3】已知椭圆的长轴长为4，离心率为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的切线，交轴于点A，直线过点且垂直于，交轴于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)试判断以为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)求椭圆C的方程：
(2)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率.

【推荐2】已知分别是椭圆的左右焦点.
（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点， ,求点的坐标.
（Ⅱ）若直线与圆相切，交椭圆于两点，是否存在这样的直线，使得？

【推荐1】设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值；
(3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知圆上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足．
(1)求动点C的轨迹方程C；
(2)过点的直线l与C交于A，B两个不同点，求面积的最大值．

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为;双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，．过点作不垂直于y轴的直线l交曲线于点A、B，点M为线段AB的中点，直线OM交曲线于P、Q两点．

(1)求、的方程；
(2)若，求直线PQ的方程；
(3)求四边形APBQ面积的最小值.