【推荐1】若正数x，y满足，则的最大值为___________．

【推荐2】已知，直线过定点A，直线过定点B，且与相交于点P，则的最大值为________.

【推荐3】一半径为的球的表面积为，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为_____．

【推荐1】若椭圆和双曲线具有相同的焦点，离心率分别为，是两曲线的一个公共点，且满足，则的值为________.

【推荐2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过双曲线的一个焦点，并且与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为________；若点，则的值为________．

【推荐3】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若上存在点，满足（为坐标原点），且的内切圆的半径等于，则双曲线的离心率为________．

【推荐1】已知直线经过双曲线的右焦点，并与双曲线的右支交于两点，且.若点A关于原点的对称点为，则的面积为__________.

【推荐2】设、是双曲线的两个焦点,为双曲线上一点,若是直角三角形,则的面积为________.

【推荐3】应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，且，的面积为10，，则抛物线方程为________．

   

【推荐1】双曲线的离心率为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于点，的动点，若直线，的斜率都存在且分别为，则的最小值为___________.

【推荐2】已知双曲线的左右焦点分别为，，P是双曲线上的一点，给出下列四个结论：
①的最小值为；
②若直线l的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，则直线l与双曲线只有一个公共点；
③点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为；
④若过的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，如果，那么．
其中，所有正确结论的序号为__________．

【推荐3】已知椭圆和双曲线有相同焦点，且它们的离心率分别为，设点是与的一个公共点，若，则的最小值为______.