【推荐1】设椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线与椭圆有唯一公共点M（M在第一象限中），与轴交于N，，其中O为坐标原点.
（i）求直线的斜率；
（ii）若，求椭圆的方程.

【推荐2】如图，椭圆的上顶点为，左顶点为，为右焦点，过作平行与的直线交椭圆于、两点，作平行四边形，点恰在椭圆上．

（1）求椭圆的离心率；
（2）若平行四边形的面积为，求椭圆的方程．

【推荐3】过椭圆：的左焦点作其长轴的垂线与的一个交点为，右焦点为，若.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若椭圆上存在点使得，求椭圆的方程.

【推荐1】已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.
①证明：为定值；
②设是直线上的动点，直线、分别另交椭圆于、两点，求的最小值.

【推荐3】已知为坐标原点，点，，过点作的平行线交于点.设点的轨迹为.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）已知直线与圆相切于点，且与曲线相交于，两点，的中点为，求三角形面积的最大值.

【推荐1】已知椭圆C：的离心率，短轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆C：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆的左右焦点分别为，，其长轴长为6，离心率为e且，点D为E上一动点，的面积的最大值为，过的直线，分别与椭圆E交于A，B两点（异于点P），与直线交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点O作直线的垂线，垂足为H.
(1)求椭圆E的方程；
(2)问：平面内是否存在定点Q，使得为定值？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.