【推荐1】如图，在四边形OBCD中，，，，且.
   
(1)用，表示；
(2)点P在线段AC上，且.求与夹角的余弦值.

【推荐2】已知向量，，设函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交于点．若恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．

【推荐3】先观察不等式（、、、）的证明过程：
设平面向量，，则，，.
∵，
∴，
∴，
再类比证明：.

【推荐1】天问一号是我国发射的火星探测器，在火星上首次留下中国印迹，首次实现通过一次任务完成火星环绕、着陆和巡视三大目标，实现了中国在深空探测领域的技术跨越而进入世界先进行列.天问一号探测器由环绕器、着陆器和巡视器组成，其中火星环绕器的运行轨道是以火星（其半径百公里）的中心F为右焦点的椭圆.已知环绕器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离为800百公里.
(1)求环绕器运行轨道的标准方程；
(2)假定环绕器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，求此时环绕器与火星表面的距离（精确到1百公里）.

【推荐2】点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，．
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的右顶点，点，点，在椭圆上，．
(1)求直线的方程；
(2)求直线被过，，三点的圆截得的弦长；
(3)是否存在分别以，为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆的左右焦点为，，实常数满足，过且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于不同两点P，Q，与y轴交于点N，且，.

(1)若直线过点，求的周长；
(2)若直线过点，的面积为，求直线的方程；
(3)求证：为定值

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知定点（2，0），直线：，动点到点的距离与到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设（，0），过点，作直线与曲线相交于不同的两点，．当的面积取得最大值时，求的内切圆的面积．

【推荐3】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若P点坐标为，过原点的直线分别交曲线C于A、B两点，求面积的最大值．

【推荐1】已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为的直线与椭圆交于､两点，且点在第一象限，点､分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.

【推荐2】已知抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，，且.
（1）求点的横坐标.
（2）若以，为焦点的椭圆过点
（ⅰ）求椭圆的标准方程；
（ⅱ）过点作直线与椭圆交于，两点，设，若，求的取值范围.

【推荐3】已知椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)斜率为且不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．