【推荐1】已知椭圆：经过点，左右焦点分别为、，圆与直线相交所得弦长为2．　
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是椭圆上不在轴上的一个动点，为坐标原点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点．
（1）试探究的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
（2）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．

【推荐2】已知椭圆经过点,离心率为,左、右焦点分别为．
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于A,B两点,与以为直径的圆交于C,D两点,求的值．

【推荐3】已知椭圆与圆：有且仅有两个公共点，点、、分别是椭圆上的动点、左焦点、右焦点，三角形面积的最大值是．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点在椭圆第一象限部分上运动，过点作圆的切线，过点作的垂线，求证：，交点的纵坐标的绝对值为定值．

【推荐1】如图，椭圆：的离心率为 e ，点在上.A，B是的上､下顶点，直线l与交于不同两点C，D（两点的横坐标都不为零，l 不平行于 x轴）.点E与C关于原点O对称，直线AE与BD交于点F，直线FO与 l 交于点M.

(1)求 b 的值；
(2)求点 M 到 x 轴的距离.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，圆：过椭圆的三个顶点，过点的直线（斜率存在且不为0）与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）证明：在轴上存在定点，使得为定值，并求出定点的坐标．

【推荐3】如图，椭圆的右焦点为，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段的中点．

(1)求点P的轨迹H的方程；
(2)在Q的方程中，令，，设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N．当为何值时，为一个正三角形？

【推荐1】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，短轴的上端点为P，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点且不与y轴垂直的直线与椭圆C交于M，N两点，是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆的一焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等边三角形，直线与椭圆的两交点间的距离为8.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆经过，且离心率.

   

(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于四个点，若该两条直线的斜率分别为，且，求的面积；
(3)如图，在（2）的条件下，椭圆上一点，位于之间，求四边形面积的最大值.