【推荐1】已知椭圆：（）的右焦点为，短轴长是长轴长的.

(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上的动点，过点作椭圆的切线，与直线交于点，若（为坐标原点）的面积为，求点的坐标.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，其右焦点到直线的距离为1，离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，直线与交于点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）若，，三点不共线，直线的斜率存在，求证：.

【推荐3】已知圆C方程为，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.
（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；
（2）判断直线与圆C的位置关系，并证明你的结论；
（3）当时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线，的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆的左右顶点为A、B，右焦点为F，C为短轴一端点，的面积为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)过点F的直线交椭圆于M，N两点（异于A，B），直线AM与BN的交点为Q.

①求证：Q点在定直线上；

②求证：射线FQ平分∠MFB.

【推荐2】已知椭圆C：的右焦点为F，过F作不平行于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AM垂直x轴于点M，BN垂直x轴于点N，直线AN与BM相交于点P.
(1)当直线l的斜率为1时，求；
(2)求证：动点P的横坐标为定值.

【推荐3】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足.
（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程.