【推荐2】已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点.
(1)求曲线E的方程；
(2)求实数k的取值范围；
(3)如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和的面积．

【推荐3】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：在纸上画一个圆，并在圆外取一定点；
步骤2：把纸片折叠，使得点折叠后与圆上某一点重合；
步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.
若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆，并在圆外取一定点，按照上述方法折纸，点折叠后与圆上的点重合，折痕与直线交于点的轨迹为曲线.
(1)以所在直线为轴建立适当的坐标系，求的方程；
(2)设的中点为，若存在一个定圆，使得当的弦与圆相切时，上存在异于的点使得，且直线均与圆相切.
（i）求证：；
（ii）求四边形面积的取值范围.

【推荐1】已知双曲线的左､右顶点分别为，点在上，且.
(1)求的方程；
(2)直线与交于两点，记直线的斜率分别为，若，求的值.

【推荐3】已知双曲线只经过点，中的两个点．

(1)求的方程；
(2)设直线与轴分别交于点，点在的右支上且与不重合，过点作的切线与分别交于点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，判断是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．

【推荐1】在平面直角坐标系中，，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程．
(2)已知点，过作轴的垂线交直线于点，的平分线交于点，当点在轴右侧运动时，试判断是否为定值．若为定值，求出该定值；否则，请说明理由．

【推荐2】已知双曲线的左顶点为，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线，分别交直线于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆.

【推荐3】已知A、B为椭圆（）和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且（，），设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为、、、.
（1）若，求的值（用a、b的代数式表示）；
（2）求证：；
（3）设、分别为椭圆和双曲线的右焦点，若，求的值．