【推荐1】设，，向量，分别为平面直角坐标内轴，轴正方向上的单位向量，若向量，，且.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设椭圆：，曲线的切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值.

【推荐2】已知椭圆经过点，，为椭圆的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆在x轴上方的交点为，直线与椭圆在x轴上方的交点为．

(1)求椭圆的离心率；
(2)若，证明：；
(3)若，求点Q的轨迹方程．

【推荐3】已知点T是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交线段于点S，记点S的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过作曲线C的两条不与坐标轴垂直的弦和，这两条弦的中点分别为P，Q，若，求面积的最大值．

【推荐1】已知椭圆的左､右焦点分别为、，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两个不同的点、，点为坐标原点，则当的面积最大时，求线段的中点的轨迹方程.

【推荐2】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为4．
(1)若P为椭圆C上一点，且∠F₁PF₂＝60°，求△PF₁F₂的面积；
(2)我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为k₁，k₂．
①求证：k₁k₂为定值；
②试问|OA|²+|OB|²是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐3】设，，向量，分别为平面直角坐标内轴，轴正方向上的单位向量，若向量，，且.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设椭圆：，曲线的切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值.