【推荐1】对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：.
(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；
(2)若数列是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；
(3)证明：不论为何值，总存在使得．

【推荐3】生命的诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有的概率分裂为个细胞（即死亡），...，有的概率分裂为个细胞.记事件：细胞最终灭绝，：细胞第一次分裂为个细胞.记该细胞第一次分裂后有个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用的数学期望作为衡量生物灭绝可能性的依据，如果，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果，则理论上我们认为细胞在足够多代的繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的.
(1)直接写出的数学期望.
(2)用只含和的概率式表示并证明该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根.
(3)若某种细胞发生基因突变，当时.
（ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同的活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为两个的能力（即只有可能分裂成个或个），求证：该细胞的灭绝是必然事件.
（ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为个的能力，并等可能分裂为个或个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知：，求出一个该种泛滥型细胞经过次分裂，得到个细胞的概率.

【推荐1】已知数列满足.
(1)当时，求证：数列不可能是常数列；
(2)若，求数列的前项的和；
(3)当时，令，判断对任意，是否为正整数，请说明理由.

【推荐2】已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记函数，其中.
（i）证明：对任意，；
（ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.