【推荐1】已知椭圆过点 ，离心率为.记椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的右焦点为F(1，0)，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值；
（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆E过且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐1】设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

【推荐2】如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，，点P是C上的一点（不同于左、右顶点），且直线的斜率与直线的斜率之积为．

(1)求C的方程；
(2)过点作直线的垂线交C于另外一点Q，求面积的最大值．

【推荐3】已知椭圆的中心在坐标原点，其焦点与双曲线的焦点重合，且椭圆的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过双曲线的右顶点作直线与椭圆交于不同的两点.设，当为定值时，求的值；