【推荐1】已知为坐标原点，椭圆的焦距为，直线截圆与椭圆所得的弦长之比为，圆、椭圆与轴正半轴的交点分别为，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线，分别交轴于点，，证明：.

【推荐2】（文）设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过、、三点的圆恰好与直线相切.

（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆右顶点为，过椭圆右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点.
①当时，求的面积；
②试问：能否为锐角三角形？若能，请求出的范围；若不能，请说明理由.

【推荐3】法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.

（1）求椭圆和其“伴随圆”的方程；
（2）若点是椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围；
（3）在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线､，使得､与椭圆都只有一个交点，试判断､是否垂直?并说明理由.

【推荐1】是等边三角形，边长为4，边的中点为，椭圆以为左、右两焦点，且经过两点．
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)过点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点，求证：直线与的交点在一条定直线上.

【推荐2】已知椭圆右焦点分别为，是上一点，点与关于原点对称，的面积为.
(1)求的标准方程；
(2)直线，且交于点，，直线与交于点.
证明：①直线与的斜率乘积为定值；
②点在定直线上.

【推荐3】椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.