【推荐1】已知函数在区间上有最大值4和最小值1，设．
(1)求的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

【推荐2】设函数．
(1)若命题：，是假命题，求m的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求m的取值范围．

【推荐3】已知函数．
(1)若，，求实数的值；
(2)若函数的值域为，求的取值范围．

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别是、，其长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线、的斜率分别为、，若，证明：为定值，并求出这个定值；
（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求m的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的右焦点为，上顶点为，下顶点为，为等腰直角三角形，且直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交椭圆于两点（异于点，)，直线，相交于点.证明：点在一条平行于轴的直线上.

【推荐3】设分别为椭圆的左、右焦点,点为椭圆的左顶点,点为椭圆的上顶点,且.
（Ⅰ）若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;
（Ⅱ）设为椭圆上一点,且在第一象限内,直线与轴相交于点,若以为直径的圆经过点,证明:.

【推荐1】已知椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点.

(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.

【推荐2】已知F_1，F₂分别为椭圆C的两个焦点，P为椭圆上任意一点．若的最大值为3，求椭圆C的离心率．

【推荐3】已知椭圆的长轴长为4，左顶点为A，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)点Q为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.