【推荐1】已知数列满足，且.
(1)当时，写出的通项公式（直接写出答案，无需过程）；
(2)求最小整数，使得当时，是单调递增数列；
(3)是否存在使得是等比数列？若存在请求出；若不存在，请说明理由.

【推荐2】对于给定的正整数，若对任意的正整数，数列均满足，且，则称数列是“数列”．
(1)证明：各项均为正数的等比数列是“数列”．
(2)已知数列既是“数列”，又是“（3）数列”．
①证明：数列是等比数列．
②设数列的前项和为，若，，问：是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．

【推荐3】一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败）或者第100站（获胜）时，游戏结束.
（1）求；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率.

【推荐1】已知数列的前项和为，，对于任意，都有，数列满足，，其前3项和为.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和.

【推荐2】容器A内装有6升浓度为20%的酒精水溶液，容器B内装有4升浓度为5%的酒精水溶液，先将A内的酒精水溶液倒1升进入B内，再将B内的酒精水溶液倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的酒精水溶液浓度分别为，.（酒精水溶液浓度=（酒精水溶液中乙醇体积/酒精水溶液总体积）×100%）
(1)请计算，，并判断数列是否为等比数列?若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
(2)至少要经过几次操作，A、B两容器中溶液浓度之差小于1%?（，）
(3)求，的表达式.

【推荐3】已知数列的前项和为，，.
（1）试判定是否是等比数列，并说明理由；
（2）求数列的前项和.

【推荐1】已知函数是方程的两个根，是的导数，设.
(1)求的值；
(2)已知对任意的正整数n，都有，记，求数列的前n项和.

【推荐2】正项数列满足：，点在圆上，
（I）求证：；
（II）若，求证：数列是等比数列；
（III）求和：

【推荐1】已知等差数列与等比数列满足，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求证：.

【推荐2】已知数列满足，.
(1)判断数列的单调性；
(2)证明：；
(3)证明证明：.

【推荐3】已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且，
(1)求的通项公式．
(2)已知，求数列的前项和．
(3)求证：．