1 . 设数列
满足
.求证：
.
满足.求证：.
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2 . 已知n个非负实数
和为1．求证：
．
和为1．求证：．
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3 . 已知数列满足：
，且对于任意正整数
，均有
.
求证：（1）
；
（2）数列
为单调数列.
满足：，且对于任意正整数，均有.求证：（1）
；（2）数列
为单调数列.
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4 . 设
和
为两组复数，满足：
．求证：存在数组
（其中
），使得
．
和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．
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5 . 对于数列
，若存在常数
使得
对任意正整数成立，则称是有界数列．已知数列满足递推式
，求证：
（1）若
，则不是有界数列．
（2）若
，则是有界数列．
，若存在常数使得对任意正整数成立，则称是有界数列．已知数列满足递推式，求证：（1）若
，则不是有界数列．（2）若
，则是有界数列．
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6 . 已知数列满足
．
（1）求证：
．
（2）是否存在实数
，使得
，若存在求出的值；若不存在．请说明理由．
满足．（1）求证：
．（2）是否存在实数
，使得，若存在求出的值；若不存在．请说明理由．
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7 . 设
是整数.对每个正整数，令
为在
进制表示下的非零数字的个数.证明：对于任意给定的正整数和
，存在正整数
使得
.
是整数.对每个正整数，令为在进制表示下的非零数字的个数.证明：对于任意给定的正整数和，存在正整数使得.
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8 . 设
为互不相等的正整数，它们的最小公倍数为
.求证：
.
为互不相等的正整数，它们的最小公倍数为.求证：.
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9 . 已知
，
．求证：对一切
，
，…，
，均有
，等号当且仅当
时成立．
，．求证：对一切，，…，，均有，等号当且仅当时成立．
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