1 . 过直线
上的点
作椭圆
的切线
，切点分别为
，联结
．
（1）当点在直线
上运动时，证明：直线恒过定点
；
（2）当
时，定点平分线段．
上的点作椭圆的切线，切点分别为，联结．（1）当点
在直线上运动时，证明：直线恒过定点；（2）当
时，定点平分线段．
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2 . 设A、B分别为椭圆
和双曲线
的公共左、右顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足
.设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为
、
、
、
.
（1）求证：
；
（2）设
、
分别为椭圆和双曲线的右焦点，若
，求
的值.
和双曲线的公共左、右顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足.设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为、、、.（1）求证：
；（2）设
、分别为椭圆和双曲线的右焦点，若，求的值.
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2001高三·湖南·竞赛
3 . 边长为1的菱形
的两对角线交于
,过作A2B2∥A1B1交
于
连结
交
于
,过作A3B3∥A1B1交于
,…,这样作下去得
以
为原点,所在直线为
轴,建立平面直角坐标系,设以
为半径,圆心在
,轴上的一列圆
依次相外切(即
与
外切,
),若圆T1与抛物线
相切.求证:所有的圆都与抛物线相切.
的两对角线交于,过作A2B2∥A1B1交于连结交于,过作A3B3∥A1B1交于,…,这样作下去得以为原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设以为半径,圆心在,轴上的一列圆依次相外切(即与外切,),若圆T1与抛物线相切.求证:所有的圆都与抛物线相切.
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4 . 已知双曲线
，抛物线
的顶点在原点
，的焦点是
的左焦点 .
（1）求证：与总有两个不同的交点；
（2）是否存在过的焦点的弦
，使
的面积有最大值或最小值?如果存在，求出所在的直线方程与最值的大小；如果不存在，说明理由.
，抛物线的顶点在原点，的焦点是的左焦点 .（1）求证：
与总有两个不同的交点；（2）是否存在过
的焦点的弦，使的面积有最大值或最小值?如果存在，求出所在的直线方程与最值的大小；如果不存在，说明理由.
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