1 . 的外接圆的圆心为，是边的中点，与外接圆交于点，，点在上，过点的外接圆的切线与相交于点．用同样的方式，可以构造点和．证明：、、三点共线．

2 . 如图，设圆和交与点、．过的圆心的直线交圆于点、，过的圆心的直线交于点、．证明：若、、、四点共圆，则该圆的圆心在直线上．
   

3 . 已知的内切圆分别与边，切于点，，与交于点，点，满足四边形和四边形式平行四边形．证明：．

4 . 已知圆是等边的外接圆，设圆与外切且切点异于点、、，点、、在圆上，且使得、、与圆相切．证明：线段、、中的一线段的长短等于另两线段长度之和．
   

5 . 已知非等腰锐角，、是它的两条高，又线段与平行于的中位线相交于点．证明：经过的外心垂心的直线与直线垂直．

6 . 已知圆、交于点、，且内切于圆，切点分别为、，为圆上的任意一点，线段、分别与圆、交于，．证明：
(1)与圆切于点的直线和与圆切于点的直线平行；
(2)是圆与圆的公切线的充分必要条件是在直线上．

8 . 设圆的内接凸四边形的两条对角线、的交点为，过、两点的圆与过、两点的圆相交于两点和，且圆、圆分别与圆相交于另一点、．求证：直线、、或者共点或者相平行．
   

9 . 如图，某圆分别与凸四边形的，两边相切于，两点，与对角线相交于，两点．问应满足怎样的重要条件，使得存在另一圆过，两点，且分别与，的延长线相切？证明你的结论．