1 . 如图，设与相离，引它们的一条外公切线切于，切于，又引它们的一条内公切线切于，且于．求证：直线和的交点在两圆的连心线上．
   

2 . 已知下底边为（即，且）的题型内接于．是在直线上移动的点，且使得不与相似．以为直径的圆交于点，记与交于点，是与的交点（）．求证：直线通过一定点．

3 . 如图，设圆和交与点、．过的圆心的直线交圆于点、，过的圆心的直线交于点、．证明：若、、、四点共圆，则该圆的圆心在直线上．
   

4 . 已知的内切圆分别与边，切于点，，与交于点，点，满足四边形和四边形式平行四边形．证明：．

5 . 已知圆是等边的外接圆，设圆与外切且切点异于点、、，点、、在圆上，且使得、、与圆相切．证明：线段、、中的一线段的长短等于另两线段长度之和．
   

6 . 如图，某圆分别与凸四边形的，两边相切于，两点，与对角线相交于，两点．问应满足怎样的重要条件，使得存在另一圆过，两点，且分别与，的延长线相切？证明你的结论．
   

7 . 如图，在锐角的边和上各取一点和，四边形的两条对角线相于点．和的垂心分别为，．证明：如果直线经过和的外接圆的交点，那么它必定经过和的外接圆的交点．

8 . 在中，，的内切圆与，，的切点分别为，，．记与的不同于点的交点为，过点作的垂线交于点，，分别是与直线，的交点．求证：是线段的中点．

9 . 如图，从半圆上的一点向直径引垂线，设垂足为，作切，，分别于，，．求证：．
   

10 . 已知圆、交于点、，且内切于圆，切点分别为、，为圆上的任意一点，线段、分别与圆、交于，．证明：
(1)与圆切于点的直线和与圆切于点的直线平行；
(2)是圆与圆的公切线的充分必要条件是在直线上．