名校
1 . 如图，已知曲线
，曲线
，
是平面上一点，若存在过点的直线与
都有公共点，则称为“
型点”.
（1）证明：
的左焦点是“
型点”；
（2）设直线
与
有公共点，求证：
，进而证明原点不是“型点”；
（3）求证：
内的点都不是“型点”.
，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.（1）证明：
的左焦点是“型点”；（2）设直线
与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；（3）求证：
内的点都不是“型点”.
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名校
解题方法
2 . 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）
的方程，若曲面和三元方程
之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解
为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面
的方程为
，双曲面可视为平面
中某双曲线的一支绕
轴旋转一周所得的旋转面，已知直线
过C上一点
，且以
为方向向量.
(1)指出
平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；
(2)证明：直线在曲面上；
(3)若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线
在曲面上，且过点
，求异面直线与所成角的余弦值.
的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量.(1)指出
平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；(2)证明：直线
在曲面上；(3)若过曲面
上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.
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3 . 在平面直角坐标系
中，利用公式
①（其中
，
，
，
为常数），将点
变换为点
的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表
唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母
，
，…表示.中，将点绕原点
按逆时针旋转
角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(2)在平面直角坐标系中，求双曲线
绕原点按逆时针旋转
（到原点距离不变）得到的双曲线方程；
(3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为
，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与
轴交于点
.设直线
，
的倾斜角分别为，
，求证：
为定值.
中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示.
中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；(2)在平面直角坐标系
中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程；(3)已知由（2）得到的双曲线
，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值.
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名校
解题方法
4 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：
的离心率为
，直线l与Γ相切，与圆O：
相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，
.
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为
.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当
的面积最大时，求；
（ⅱ）若，
均存在，记两者中的较大者为
.已知
，
，
均存在，证明：
.
的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为
.（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当
的面积最大时，求；（ⅱ）若
，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
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2024-03-21更新
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2748次组卷
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10卷引用：江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题
江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题江苏省扬州市2024届高三第二次调研测试数学试题江苏省泰州市2024届高三第二次调研测试数学试题（已下线）模块4 二模重组卷 第2套 全真模拟卷（已下线）高三数学考前押题卷3（已下线）江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题变式题 16-19（已下线）江苏省泰州市2024届高三第二次调研测试数学试题变式题16-19天津市南开中学2023-2024学年高三下学期第五次月考数学试题（已下线）专题8 考前押题大猜想36-40（已下线）压轴题02圆锥曲线压轴题17题型汇总-3
5 . 在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆
的蒙日圆的面积为
，该椭圆的上顶点和下顶点分别为
，且
，设过点
的直线
与椭圆
交于
两点（不与两点重合）且直线
.
(1)证明：
，
的交点在直线
上;
(2)求直线
围成的三角形面积的最小值.
的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线.(1)证明：
，的交点在直线上;(2)求直线
围成的三角形面积的最小值.
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2024-03-08更新
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1945次组卷
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4卷引用：湘豫名校联考2024年2月高三第一次模拟考试数学试题
湘豫名校联考2024年2月高三第一次模拟考试数学试题湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期适应考试（二）数学试题（已下线）重难点14 圆锥曲线必考压轴解答题全归类【十一大题型】（举一反三）（新高考专用）-2（已下线）江苏省泰州市2024届高三第二次调研测试数学试题变式题16-19
名校
解题方法
6 . 在椭圆：
（
）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆
：
上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过
，
(1)求椭圆
的方程；(2)过椭圆
的蒙日圆上一点
，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点
，若
，
存在．证明：
为定值．
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2024-01-03更新
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1139次组卷
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7卷引用：广西2024届高三高考桂柳鸿图模拟金卷试题（三）
广西2024届高三高考桂柳鸿图模拟金卷试题（三）江西省上饶市广丰贞白中学2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题广东省珠海市第一中学2024届高三上学期大湾区期末数学预测卷（四）福建省莆田二中、仙游一中、仙游金石中学、哲理中学2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷（已下线）高三数学开学摸底考01（新高考七省地区专用）（已下线）专题8.2 椭圆综合【九大题型】（已下线）重难点14 圆锥曲线必考压轴解答题全归类【十一大题型】（举一反三）（新高考专用）-2
解题方法
7 . 在平面直角坐标系中，重新定义两点
之间的“距离”为
，我们把到两定点
的“距离”之和为常数
的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设
，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为
的左顶点为，过
作直线交于
两点，
的外心为
，求证：直线
与
的斜率之积为定值．
中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设
，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．
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2024-03-22更新
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931次组卷
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3卷引用：新疆乌鲁木齐地区2024届高三第二次质量监测数学试题
名校
解题方法
8 . 已知椭圆:
，
，
．椭圆内部的一点
，过点
作直线
交椭圆于，作直线
交椭圆于．、是不同的两点．
(1)若椭圆的离心率是
，求的值；
(2)设
的面积是
，
的面积是
，若
，
时，求
的值；
(3)若点
，
满足
且
，则称点
在点
的左上方．求证：当
时，点在点的左上方．
:，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点．(1)若椭圆
的离心率是，求的值；(2)设
的面积是，的面积是，若，时，求的值；(3)若点
，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方．
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2023-04-13更新
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1617次组卷
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8卷引用：上海市奉贤区2023届高三二模数学试题
上海市奉贤区2023届高三二模数学试题（已下线）模块八 专题9 以解析几何为背景的压轴解答题（已下线）专题08 平面解析几何-学易金卷上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）上海市静安区市北中学2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）专题15 圆锥曲线综合（已下线）重难点14 圆锥曲线必考压轴解答题全归类【十一大题型】（举一反三）（新高考专用）-2
9 . 等轴双曲线是离心率为
的双曲线，可建立合适的坐标平面使之为反比例函数．
（1）在等轴双曲线上有三点，，，其横坐标依次是
，
，
．设，，
分别为
，
，
的中点，试求
的外接圆圆心的横坐标．
（2）双曲线
的渐近线为和
，上有三个不同的点，，，直线、直线、直线与分别交于
，
，
，过，，分别作直线、直线、直线的垂线
，
，
．
（i）当为等轴双曲线时，证明：，，三线共点．
（ii）当不为等轴双曲线时，记
，
，
分别是与，与，与的交点，类似地从另一条渐近线出发来定义
，
，
．证明：
．
的双曲线，可建立合适的坐标平面使之为反比例函数．（1）在等轴双曲线
上有三点，，，其横坐标依次是，，．设，，分别为，，的中点，试求的外接圆圆心的横坐标．（2）双曲线
的渐近线为和，上有三个不同的点，，，直线、直线、直线与分别交于，，，过，，分别作直线、直线、直线的垂线，，．（i）当
为等轴双曲线时，证明：，，三线共点．（ii）当
不为等轴双曲线时，记，，分别是与，与，与的交点，类似地从另一条渐近线出发来定义，，．证明：．
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2021-09-03更新
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1083次组卷
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4卷引用：福建名校联盟优质校2022届高三第一次调研考试数学试题
10 . 定义：已知椭圆，把圆
称为该椭圆的协同圆.设椭圆
的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：
（1）写出协同圆圆的方程；
（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求
的值；
（3）设是椭圆上的两个动点，且
，过点作
，交直线于
点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆
的方程；（2）设直线
是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；（3）设
是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
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