1 . 阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.则椭圆的标准方程___________.若过点的直线与交于不同的两点，，则面积的最大值___________.

2 . 已知椭圆C：的左､右焦点分别为.
（1）设P为椭圆C上除左､右顶点外的任意一点，设，证明：；
（2）若椭圆的标准方程为，则我们称C和为“相似椭圆”.已知和C为“相似椭圆”，且的长轴长是C的半长轴长的倍.M为上的动点，过点M作的切线交C于A，B两点，N为C上异于A，B的一点，且满足，问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

3 . 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F₁(-1，0)和F₂(1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是（       ）

A．曲线C过坐标原点

B．曲线C关于坐标原点对称

C．曲线C关于坐标轴对称

D．若点在曲线C上，则 的面积不大于

4 . 双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（       ）

A．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

B．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2

C．曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为

D．若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为

5 . 在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（       ）

A．（1）（2）（3）	B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4）	D．（2）（3）（4）

6 . 若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.

8 . 已知椭圆的焦点为、，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“★”点.下列结论正确的是（       ）

A．椭圆上的所有点都是“★”点

B．椭圆上仅有有限个点是“★”点

C．椭圆上的所有点都不是“★”点

D．椭圆上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点

9 . 函数图象上不同两点，，，处的切线的斜率分别是，，规定叫曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：
（1）函数图象上两点、的横坐标分别为1，2，则；
（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
（3）设点、是抛物线，上不同的两点，则；
（4）设曲线上不同两点，，，，且，若恒成立，则实数的取值范围是；
以上正确命题的序号为__（写出所有正确的）

10 . 已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”.设、为方程（）的两个实根，记.
（1）求点的“特征直线”的方程；
（2）已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐近线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点.求证：；
（3）已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、.求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.