1 . 已知函数，．
(1)证明：；
(2)若随机变量X可取值为，，且，2，，n，，为X的数学期望．
证明：①；
②．

2 . 已知实数x，y满足．
(1)若x=0时，试问上述关于y的方程有几个实根？
(2)证明：使方程有解的必要条件为：．

3 . 在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2，0），且双曲线的焦点到渐近线的距离为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求椭圆的方程；
(3)过椭圆的左焦点作直线（直线的斜率不为零）与椭圆交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．

4 . 有同学在研究指数函数和幂函数的图像时，发现它们在第一象限有两个交点和．通过进一步研究，该同学提出了如下两个猜想：请你证明或反驳该同学的猜想．
(1)函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点；
(2)设，，且，若，则．其中为自然对数的底，

5 . 设抛物线：，其焦点为 ，准线为，点为上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，且，.
(1)求抛物线的方程；
(2)设点为外的一点且点不在坐标轴上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，过点作轴的垂线，垂足为，连接 ，，证明：直线与直线关于轴对称.

6 . 直线交椭圆于，两点，满足，其中为坐标原点.
（1）证明：直线恒与一个定圆相切；
（2）设椭圆在，两点处的切线交于点，求点的轨迹方程.

7 . 已知椭圆：，直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，是椭圆上一点，且，设．
（1）证明：三点共线；
（2）求面积的最大值．