1 . 设双曲线Γ:
，
，B，C在Γ上且直线
经过A.设
分别为Γ在B，C处的切线，点D满足
，则D的轨迹方程是___________ ;若D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是_____ .(写出1个即可).
，，B，C在Γ上且直线经过A.设分别为Γ在B，C处的切线，点D满足，则D的轨迹方程是
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2 . 给定平面上的点集
，
中任三点均不共线．将中所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连，不在同一组的两点不连线段，这样得到一个图案
．不同的分组方式得到不同的图案．将图案中所含的以中的点为顶点的三角形的个数记为
．
（1）求的最小值
；
（2）设
是使
的一个图案，若将中的线段（指以的点为端点的线段）用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色．证明存在一个染色方案，使染色后不含以的点为顶点的三边颜色相同的三角形．
，中任三点均不共线．将中所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连，不在同一组的两点不连线段，这样得到一个图案．不同的分组方式得到不同的图案．将图案中所含的以中的点为顶点的三角形的个数记为．（1）求
的最小值；（2）设
是使的一个图案，若将中的线段（指以的点为端点的线段）用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色．证明存在一个染色方案，使染色后不含以的点为顶点的三边颜色相同的三角形．
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3 . 设
均为大于1的整数, 
为n个不超过m的互不相同的正整数,且互素.证明:对任意实数x,均存在一个
，使得
,其中
表示实数r到与其最近的整数的距离．
均为大于1的整数, 为n个不超过m的互不相同的正整数,且互素.证明:对任意实数x,均存在一个，使得,其中表示实数r到与其最近的整数的距离．
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