1 . 已知抛物线的焦点为，过点的直线分别与相切于点，，点在曲线上，且在，之间，曲线在处的切线分别与，相交于，．
(1)求面积的最大值；
(2)证明：的外接圆经过异于点的定点．

2 . 已知为方程的解，，
(1)求证：.
(2)求的值.

3 . 如图1，抛物线与x轴交于，两点.
   
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，在（1）中抛物线的第二象限部分是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由.

4 . 已知函数满足，函数是上单调递增的一次函数，且满足.

(1)证明：，；
(2)已知函数，
①画出函数的图像；
②若且，，互不相等时，求的取值范围.

5 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为.

(1)已知，两点，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，如图，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
(3)如图，过点的直线与抛物线交于另一点点在对称轴右侧，点在的延长线上，连接，，和若，，是否存在这样的点，使四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 在平面直角坐标系中，已知一列点：，，，，，，其中，向量.
(1)求和的值；
(2)证明：对任意的正整数，都有；
(3)若正整数满足，则下列结论中正确的有___________.（填入所有正确选项的序号）
①；②；③.

7 . 设动点在直线和上的射影分别为点和，已知，其中为坐标原点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过直线上的一点作轨迹的两条切线和(，为切点)，求证：直线经过定点.