1 . 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
（）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）．
（）请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”．
（）当时，集合，求证：集合不是“和谐集”．

2 . 对于正整数集合（,）,如果去掉其中任意一个元素（）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否为“和谐集”,并说明理由；
(2)求证：集合是“和谐集”；
(3)求证：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.

3 . 已知位数满足下列条件：①各个数字只能从集合中选取；②若其中有数字4,则在4的前面不含2.将这样的n位数的个数记为
（1）求；
（2）探究与之间的关系,求出数列的通项公式；
（3）对于每个正整数,在与之间插入个得到一个新数列,设是数列的前项和,试探究能否成立？写出你探究得到的结论并给出证明.

4 . 对于集合,,,,定义.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足,则称集合具有性质.
(1)已知集合,,写出,的值；
(2)已知集合,其中,证明：有性质；
(3)已知集合,有性质,且求的最小值.

5 . 有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或跳到第100站（失败）时，该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为.   
（1）求，，，并根据棋子跳到第站的情况写出与、的递推关系式（）；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率.

6 . 已知数列满足：对任意，都有.
（1）若，求的值；
（2）若是等比数列，求的通项公式；
（3）设，，求证：若成等差数列，则也成等差数列.

7 . 1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________（排球的直径约为）

8 . 已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）比较 与的大小且，并证明你的结论.

9 . 在无穷数列中，是给定的正整数，，．
（Ⅰ）若，写出的值；
（Ⅱ）证明：数列中存在值为的项；
（Ⅲ）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．