2 . 已知圆和定点，其中点是该圆的圆心，P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点E，设动点E的轨迹为C．
(1)求动点E的轨迹方程C；
(2)设曲线C与x轴交于A，B两点，点M是曲线C上异于A，B的任意一点，记直线MA，MB的斜率分别为，．证明：是定值；
(3)设点N是曲线C上另一个异于M，A，B的点，且直线NB与MA的斜率满足，试探究：直线MN是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．

3 . 已知抛物线：经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：.

4 . 已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P、T的横坐标分别为x₁，x₂，证明：x₁x₂＝1；
(3)设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且，求的取值范围．

5 . 已知为坐标原点，椭圆：的左､右焦点分别为，，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过，的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆交于，两点，若，点在上，.证明：存在点，使得为定值.

6 . 已知椭圆M：的离心率为，左顶点A到左焦点F的距离为1，椭圆M上一点B位于第一象限，点B与点C关于原点对称，直线CF与椭圆M的另一交点为D．

(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设直线AD的斜率为，直线AB的斜率为．求证：为定值．

7 . 已知函数，R．
（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）若，为的两个不同极值点，证明：．

8 . 已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．
①求证：为定值；
②求证：直线过定点.

9 . 已知椭圆：的右焦点为，点在上，为椭圆的半焦距．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若经过的直线与交于，（异于）两点，与直线交于点，设，，的斜率分别为，，，求证：．

10 . 已知函数，其中为的导数．
（1）若为定义域内的单调递减函数，求a的取值范围；
（2）当时，记，求证：当时，恒成立．